Tema 16: Discusión y resolución de ecuaciones lineales
Teorema de Rouché-Frobenius • Algoritmo de Gauss • Regla de Cramer • IA y Espacios Vectoriales
1 Introducción
Este tema vertebra el Álgebra Lineal aplicada al resolver uno de los problemas más ubicuos en las matemáticas: la determinación de soluciones comunes a un conjunto de restricciones lineales. Formalizaremos los sistemas como ecuaciones matriciales $AX=B$ y como aplicaciones lineales entre espacios vectoriales. Analizaremos las técnicas constructivas de resolución (Gauss, Cramer) y culminaremos con la potente herramienta teórica del Teorema de Rouché-Frobenius, que permite discutir a priori la existencia y unicidad de soluciones atendiendo al rango matricial.
Los sistemas de ecuaciones componen la herramienta básica para el estudio de las posiciones relativas en el plano y en el espacio. Aunque, si bien es cierto, dentro de las Ciencias Sociales, deberíamos prestar más atención a su tratamiento algebraico más que geométrico. Tengamos en cuenta que los sistemas de ecuaciones resuelven problemas relacionados con situaciones de la vida cotidiana, que tiene que ver con las Ciencias Sociales, siempre y cuando hablemos de niveles de Bachillerato. Para niveles más altos, podemos hablar de aplicaciones en todas las ciencias y unos niveles que, al igual que pasa con las ecuaciones, se vuelven imprescindibles para resolver problemas.
Comenzaremos con el concepto general de sistema de ecuaciones en sus distintas formas: ordinaria, matricial, vectorial, etc. Veremos las distintas posibilidades con las que nos enfrentaremos en cuanto al número y tipo de soluciones, lo cual analizaremos visualmente.
2 Notación y definiciones
En adelante $\mathbb{K}$ será un cuerpo. (Normalmente $\mathbb{K}=\mathbb{R}$ o $\mathbb{K}=\mathbb{C}$).
Llamaremos sistema de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas a un conjunto de relaciones lineales de la forma:
Siendo $x_1, x_2, \dots, x_n$ las incógnitas del sistema y todos los coeficientes $a_{ij}$ y $b_i$ pertenecientes a $\mathbb{K}$.
Si $\mathcal{S}(S)$ es el conjunto de todas las posibles soluciones de un sistema $S$, dependiendo de su cardinalidad geométrica y algebraica podemos tener tres casos, que visualizamos a continuación en 2D:
Selecciona el tipo de sistema para observar cómo se comportan las rectas (ecuaciones) en el plano y cómo esto determina el conjunto de soluciones.
2.1. Representación matricial de un sistema
Podemos ver el sistema inicial como una ecuación matricial $A X = B$. A la matriz $A$ la llamaremos matriz de coeficientes. Diremos que la matriz $(A|b)$ es la matriz ampliada del sistema:
Si se aplica a la matriz ampliada de un sistema una o varias transformaciones elementales por filas (intercambiar filas, multiplicar por escalares no nulos, o sumar a una fila el múltiplo de otra), el sistema resultante es equivalente al primero (tienen las mismas soluciones).
Consideremos la operación de sumar a una fila $i$ un múltiplo de otra fila $k$ ($F_i \leftarrow F_i + \alpha \cdot F_k$).
Sea $s = (s_1, \dots, s_n)$ una solución del sistema original. Cumple $E_i(s) = b_i$ y $E_k(s) = b_k$.
La nueva ecuación $i$-ésima es $\tilde{E}_i = E_i + \alpha \cdot E_k$. Evaluando en $s$:
Por lo tanto, la ecuación se cumple. Como estas operaciones matriciales son reversibles mediante transformaciones inversas del mismo tipo, el conjunto de soluciones se conserva intacto. $\blacksquare$
3 Método de Gauss. Discusión de un sistema
Las operaciones por filas convierten a un sistema en otro equivalente. El método de Gauss consiste en hacer ceros en la matriz ampliada del sistema desde la diagonal hacia abajo (escalonamiento), obteniendo un sistema triangular mucho más fácil de resolver (por sustitución regresiva).
Halla las soluciones del siguiente sistema aplicando pivotaje sobre la matriz ampliada:
Una vez triangulada la matriz (Paso 2), reconstruimos el sistema equivalente escalonado:
- $F_3 \Rightarrow 2z = 0 \implies \mathbf{z = 0}$
- $F_2 \Rightarrow y + 2z = -4 \implies y + 2(0) = -4 \implies \mathbf{y = -4}$
- $F_1 \Rightarrow x + y - z = 3 \implies x + (-4) - 0 = 3 \implies \mathbf{x = 7}$
El conjunto $\mathcal{S}(S) = \{(7, -4, 0)\}$ es la solución única (Sistema Compatible Determinado). $\blacksquare$
Si durante el proceso de Gauss llegamos a una fila del tipo $(0, 0, \dots, 0 \mid \beta)$ con $\beta \ne 0$, estamos ante un sistema incompatible (ej. $0 = 3$). Si las filas nulas en los coeficientes también lo son en el término independiente, las ignoramos, y si nos quedan menos ecuaciones independientes que incógnitas, será un sistema compatible indeterminado.
4 Sistemas de ecuaciones lineales homogéneos
Un sistema de ecuaciones lineales $AX = B$ se dice que es homogéneo cuando la matriz de términos independientes es nula, es decir, $B = \mathbf{0} = (0, 0, \dots, 0)^t$.
Estos sistemas son siempre compatibles, pues la tupla trivial $X = (0, 0, \dots, 0)$ (el origen de coordenadas) es siempre solución del sistema al anular todos los sumandos. A esta solución se la denomina solución trivial. La discusión de estos sistemas se reduce a averiguar si es Compatible Determinado (solo admite la solución trivial) o Compatible Indeterminado (admite infinitas soluciones además de la trivial).
5 Método de Cramer
Sea el sistema $AX = B$ siendo $A$ una matriz cuadrada de orden $n$ (mismo número de ecuaciones que de incógnitas) y $\det A \ne 0$. Al multiplicar por la inversa obtenemos $X = A^{-1} B$. Desarrollando esto mediante la matriz de adjuntos, llegamos al siguiente teorema práctico.
En un sistema de Cramer (cuadrado y con $\det A \ne 0$), el valor de la incógnita $x_i$ viene dado por el cociente entre el determinante de la matriz formada al sustituir la columna $i$-ésima por el vector $\vec{b}$ y el determinante original:
Partimos de la ecuación matricial $AX = B$. Como $\det A \ne 0$, sabemos que la matriz $A$ es regular y admite inversa:
Despejando el vector de incógnitas $X$, tenemos: $X = A^{-1} B = \frac{1}{\det A} (\text{Adj}(A))^t B$.
Si evaluamos el elemento $i$-ésimo del vector $X$ (es decir, la incógnita $x_i$), realizamos el producto de la fila $i$-ésima de la matriz adjunta transpuesta por el vector columna $B$:
Donde $A_{ji}$ es el adjunto del elemento $a_{ji}$. Ahora bien, la expresión $\sum_{j=1}^n b_j A_{ji}$ es exactamente el desarrollo por los adjuntos de la columna $i$-ésima del determinante de una matriz idéntica a $A$, salvo que su columna $i$-ésima ha sido reemplazada por los términos independientes del vector $B$. Queda así demostrada la fórmula. $\blacksquare$
Halla las soluciones del siguiente sistema aplicando la Regla de Cramer (sustituyendo la columna correspondiente por el vector de términos independientes $\vec{b}$):
En una exposición de excelencia, es fundamental contextualizar los métodos de resolución desde la perspectiva del Análisis Numérico y la Ciencia de Datos.
Cramer vs. Gauss ($\mathcal{O}(n!)$ frente a $\mathcal{O}(n^3)$):
Aunque la regla de Cramer es una fórmula cerrada estéticamente perfecta, su complejidad algorítmica la hace inviable computacionalmente a gran escala. Evaluar los $n+1$ determinantes de orden $n$ requiere $\mathcal{O}(n \cdot n!)$ operaciones aritméticas si se usa la definición de Leibniz, o $\mathcal{O}(n^4)$ si se triangula (lo cual anula su propósito). Para un sistema de tan solo $20 \times 20$, Cramer es inabarcable para cualquier ordenador moderno, mientras que el algoritmo de Eliminación Gaussiana requiere solo $\frac{2}{3}n^3$ operaciones (fracciones de milisegundo).
El número de condición de una matriz:
Además de la eficiencia computacional, en la realidad física los coeficientes de $A$ provienen de mediciones experimentales con margen de error. La magnitud por la cual un error en la entrada se amplifica en la solución $X$ está gobernada por el Número de Condición $\kappa(A) = \|A\| \cdot \|A^{-1}\|$. Si $\kappa(A)$ es alto, el sistema está "mal condicionado", y pequeñas imprecisiones computacionales de redondeo destruirán por completo la solución geométrica.
6 Teorema de Rouché-Frobenius
El Teorema de Rouché-Frobenius proporciona una regla infalible para saber si un sistema de ecuaciones lineales tiene solución, basándose exclusivamente en el cálculo de los rangos de sus matrices. Esto nos exime de tener que resolver el sistema completo para averiguar su viabilidad.
Perspectiva funcional del sistema: cómo la dimensión del subespacio columna determina la consistencia.
De forma más técnica, podemos ver el sistema $AX = B$ como la ecuación de una aplicación lineal $f(\vec{x}) = \vec{b}$. Resolver el sistema equivale a determinar si el vector $\vec{b}$ pertenece a la Imagen del subespacio generado por los vectores columna de $A$:
Un sistema de ecuaciones lineales $AX = B$ tiene solución (es compatible) sí, y sólo sí, el rango de la matriz de coeficientes coincide con el rango de la matriz ampliada:
($\Rightarrow$) Necesidad: Supongamos que el sistema es compatible. Entonces existe al menos una solución $(s_1, \dots, s_n)$ que satisface las ecuaciones. Matricialmente, esto implica que:
Es decir, el vector columna $\vec{b}$ es una combinación lineal de las columnas de $A$. Como $\vec{b}$ no aporta ninguna dirección linealmente independiente nueva, añadirlo a la matriz $A$ para formar $(A|b)$ no altera la dimensión del subespacio columna generado. Por ende, el número de columnas linealmente independientes se mantiene y $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|b)$.
($\Leftarrow$) Suficiencia: Supongamos ahora que $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|b)$. Esto significa que la dimensión del espacio generado por las columnas de $A$ es exactamente la misma que la del espacio al que le hemos añadido $\vec{b}$.
La única forma de que esto ocurra es que $\vec{b}$ no aporte una nueva dimensión y ya perteneciera al espacio generado por $A$. En consecuencia, $\vec{b}$ puede escribirse como combinación lineal de $\vec{a_1}, \dots, \vec{a_n}$. Los escalares de dicha combinación lineal $(x_1, \dots, x_n)$ constituyen precisamente una solución al sistema, demostrando así que es compatible. $\blacksquare$
7 Discusión de un sistema de ecuaciones lineales
Aglutinando todo lo anterior, el protocolo estándar de discusión para un sistema $A\vec{x} = \vec{b}$ de $m$ ecuaciones y $n$ incógnitas es el siguiente:
Selecciona un tipo de sistema (caso 3x3) y utiliza el ratón (click y arrastrar) para girar la cámara y observar cómo los planos (ecuaciones) se intersecan en el espacio $\mathbb{R}^3$, lo que define la solución del sistema.
1. Sistema Incompatible (S.I.): $\text{rango}(A) \ne \text{rango}(A|b)$
El rango de la matriz ampliada suele ser una unidad mayor ($\text{rango}(A) + 1$). El sistema no tiene solución, ya que el vector de términos independientes escapa al subespacio generado por la matriz de coeficientes. Geométricamente observamos planos paralelos o formaciones prismáticas tubulares que no comparten ningún punto común a todos ellos simultáneamente.
2. Sistema Compatible (S.C.): $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|b) = r$
El sistema tiene solución. En la matriz ampliada encontraremos exactamente $r$ filas no nulas (linealmente independientes). Descartando las $m - r$ ecuaciones redundantes, se abren dos opciones:
-
Caso 2.1: $r = n$ (nº de incógnitas) $\implies$ Compatible Determinado (S.C.D.).
El sistema reducido es cuadrado con determinante no nulo. Tiene una solución única calculable por la regla de Cramer o Gauss. Geométricamente, los hiperplanos intersecan en un único punto exacto. -
Caso 2.2: $r < n$ (nº de incógnitas) $\implies$ Compatible Indeterminado (S.C.I.).
Existen infinitas soluciones que forman una variedad afín con $n - r$ grados de libertad (parámetros libres $\lambda_1, \dots, \lambda_{n-r}$). Para resolverlo:- Asignamos parámetros a las $n - r$ incógnitas secundarias.
- Pasamos dichos parámetros al término independiente a la derecha.
- Resolvemos el sistema $r \times r$ de Cramer resultante en función de los parámetros.
Discutir el siguiente sistema de ecuaciones en función de los valores del parámetro real $m$:
En primer lugar, planteamos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $(A|b)$:
Estudiamos el rango de $A$ calculando su determinante por Sarrus:
Igualamos a cero para encontrar los valores críticos del parámetro: $4 - 2m = 0 \implies m = 2$.
Caso 1: $m \ne 2$
Si $m \ne 2$, entonces $|A| \ne 0$. Por lo tanto, el rango máximo se alcanza: $\text{rango}(A) = 3$. Como la matriz ampliada tiene 3 filas como máximo, obligatoriamente $\text{rango}(A|b) = 3$.
Al coincidir los rangos con el número de incógnitas ($r=3=n$), el sistema es Compatible Determinado (S.C.D.). Tendrá una solución única y exacta calculable por Cramer.
Caso 2: $m = 2$
Sustituimos explícitamente $m = 2$ en las matrices del sistema:
Ya sabemos que $|A| = 0$, así que $\text{rango}(A) \le 2$. Si buscamos un menor de orden 2 no nulo, tomando por ejemplo el menor superior izquierdo:
Para la matriz ampliada, observamos directamente que la fila 1 y la fila 3 son idénticas ($F_1 = F_3$). Por lo tanto, la 3ª ecuación es redundante. El rango de la matriz ampliada se mantiene en 2: $\text{rango}(A|b) = 2$.
Como $\text{rango}(A) = \text{rango}(A|b) = 2 \lt 3$ (nº incógnitas), el sistema es Compatible Indeterminado (S.C.I.). Tiene un grado de libertad ($3 - 2 = 1$). Asignando $z = \lambda$:
8 Aplicaciones y Conclusión
La resolución de sistemas no es un mero ejercicio algebraico; sustenta multitud de disciplinas tecnológicas y científicas:
- Economía: El modelo de insumo-producto de Leontief ($X = AX + D$), pilar de la planificación macroeconómica moderna.
- Criptografía: Cifrados matriciales como el de Hill dependen del álgebra lineal modular, donde desencriptar equivale a resolver el sistema lineal por la matriz inversa en el cuerpo $\mathbb{Z}_p$.
8.1. Inteligencia Artificial y Redes Neuronales
El auge actual del Machine Learning y el Deep Learning tiene su motor principal en el álgebra lineal. Una red neuronal artificial procesa la información mediante capas, y el paso de información de una capa a otra (propagación hacia adelante o forward pass) es estrictamente una transformación lineal evaluada mediante multiplicación matricial.
Si una capa recibe un vector de neuronas de entrada $X$ (por ejemplo, los datos numéricos de una imagen) y produce un vector de neuronas de salida $Y$, la operación matemática subyacente es idéntica a evaluar un sistema de ecuaciones:
Donde $W$ es la matriz de pesos (coeficientes del sistema) y $B$ es el vector de sesgo (términos independientes). Entrenar una Inteligencia Artificial consiste, en esencia, en aplicar algoritmos para ajustar esta inmensa matriz de coeficientes $W$ de modo que las salidas encajen con lo que queremos predecir o clasificar.
En esta simulación, observa cómo una capa neuronal transforma las entradas ($x_1, x_2$) en salidas ($y_1, y_2$) a través de una matriz de pesos $W$ fija de $2 \times 2$. Modifica las entradas con los deslizadores para ver la evaluación del sistema de ecuaciones en acción.
Evaluación lineal: $y_1 = 1.2 \cdot x_1 - 0.8 \cdot x_2$ | $y_2 = -0.5 \cdot x_1 + 2.0 \cdot x_2$
Desde las operaciones elementales por filas de Gauss, pasando por el abordaje cerrado y matricial de Cramer, hasta culminar con la visión vectorial abstracta del Teorema de Rouché-Frobenius, hemos demostrado cómo el Álgebra Lineal provee de un marco excepcionalmente rígido pero versátil para clasificar, modelar e interpretar las estructuras lógicas de la realidad tanto topológica como computacionalmente.